我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．

（1）在图①中，若，则的长为_____；

（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

答案

（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析

【分析】

（1）由黄金比值直接计算即可；

（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论；

（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．

【详解】

（1）AB=×20=（）(cm)，

故答案为：；

（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠D=90º，

由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，

在Rt△CDE中，CE=，

∴EH=，

在Rt△GHE中，

在Rt△GAE中，,

∴，

解得：x=，

即，

∴是的黄金分割点；

（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．

理由：∵，

∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，

∴∠ABE=∠BCF，

∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，

∴△BAE≌△CBF（ASA），

∴AE=BF，

设AE=BF=x，则AF=a-x，

∵AD∥BC即AE∥PB，

∴即，

∴，

解得：或(舍去)，

即BF=AE=，

∴，

∴、分别是、的黄金分割点．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．