如图,在矩形中,,,点为边上的一点(与、不重合)四边形关于直线的对称图形为四边形,延长交与点,记四边形的面积为.
(1)若,求的值;
(2)设,求关于的函数表达式.
(1);(2)
【分析】
(1)解Rt△ADE可得和AE的长,然后根据平行线的性质、对称的性质可得,进而可判断为等边三角形,再根据S=S△APE+S△ADE解答即可;
(2)过点作于点F,如图,则四边形ADEF是矩形,由(1)得,从而可得,设,则,然后在中根据勾股定理即可利用x表示a,然后根据S=S△APE+S△ADE即可求出结果.
【详解】
解:(1)在Rt△ADE中,∵,,
∴,∴,
∴,
∵,∴,
∵四边形关于直线的对称图形为四边形,
∴,
∵,
∴,
∴为等边三角形,
∴S=S△APE+S△ADE=;
(2)过点作于点F,如图,则四边形ADEF是矩形,
∴,,
由(1)可知,,
∴,
设,则,
在中,由勾股定理,得:,解得:,
∴S=S△APE+S△ADE=.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识,考查的知识点多、综合性强,熟练掌握上述知识是解题的关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)