如图,△ABC是等腰直角三角形, AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.
(1)请说明:DE=DF;
(2)请说明:BE2+CF2=EF2;
(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)25.
【分析】
(1)连接AD,根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°,AD=BD,求出∠BDE=∠ADF,根据ASA证△BDE≌△ADF即可;
(2)根据AAS证△ADE≌△CDF,推出AE=CF,根据勾股定理求出即可;
(3)求出EF长,根据勾股定理求出DE和DF,根据三角形的面积公式求出即可.
【详解】
(1)证明:连接AD,
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠C=∠B=45°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
,
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF.
(2)证明:∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中
,
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2,
即BE2+CF2=EF2.
(3)解:EF2=BE2+CF2=100,
∴EF=10,
根据勾股定理DE=DF=5,
△DEF的面积是DE×DF=×5×5=25.
答:△DEF的面积是25.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形性质,勾股定理,三角形的面积,直角三角形斜边上的中线性质等知识点的应用,关键是①小题构造三角形ADF,证△BDE和△ADF全等,②小题求出CF=AE,目比较典型,但有点难度.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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