如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,A(1,0),B(0,4),反比例函数y═的图象过点C,边AC与y轴交于点D,若S△BAD:S△BCD=1:2,则k=( ).
A.﹣4 B.﹣6 C.﹣7 D.﹣8
C
【解析】
作CE⊥y轴于E,根据S△BAD:S△BCD=1:2,求得CE=2;通过证得△CBE∽△BAO,求得BE=,即可求得C的坐标,然后根据k=xy完成求解.
【详解】
作CE⊥y轴于E
∵A(1,0),B(0,4)
∴OA=1,OB=4
∵S△BAD:S△BCD=1:2
∴CE=2
∵∠ABC=90°
∴∠ABO+∠CBE=90°
∵∠BCE+∠CBE=90°
∴∠BCE=∠ABO
∵∠CEB=∠AOB=90°
∴△CBE∽△BAO
∴
∴
∴BE=
∴OE=4-=
∴C(﹣2,)
∵反比例函数y═的图象过点C
∴k=﹣2×=﹣7
故选:C.
【点睛】
本题考察了相似三角形、直角三角形、直角坐标系、反比例函数的知识;求解的关键是熟练掌握直角三角形、直角坐标系、反比例函数和相似三角形的性质,从而完成求解.
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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