能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放,其中,.点,分别在边,上,与相交于点.
(探究)求证:四边形是菱形.
(操作一)固定图①中的平行四边形纸片,将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,如图②,则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______.
(操作二)四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,连接,,如图③若,则四边形的面积为______.
探究:证明见解析;操作一:56;操作二:72.
【解析】
探究:先根据平行四边形的性质可得,再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形,然后根据菱形的判定即可得证;
操作一:先根据菱形的性质得出,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得;
操作二:先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得是等腰三角形,且平分,再根据等腰三角形的三线合一可得,,然后利用正弦三角函数可求出DN的长,从而可得DG的长,最后根据矩形的判定可得四边形是矩形,据此利用矩形的面积公式即可得.
【详解】
探究:四边形和都是平行四边形
,即
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形;
操作一:如图,设AE与DF相交于点H,AB与FG相交于点M
四边形和是两个完全重合的平行四边形
,
在和中,
,和的周长相等
同理可得:
、、、的周长均相等
又
的周长为
则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为
故答案为:56;
操作二:如图,设AB与DG相交于点N
四边形和是两个完全重合的平行四边形
是等腰三角形,且平分
,
在中,,即
解得
又
四边形是平行四边形
,即
平行四边形是矩形
则四边形的面积为
故答案为:72.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点,熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键.
直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC
直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)
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