人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法:
已知:
求作:的平分线
做法:(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N,
(2)分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在的内部相交于点C
(3)画射线OC,射线OC即为所求.
请你根据提供的材料完成下面问题:
(1)这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号).
① ② ③ ④
(2)请你证明OC为的平分线.
(1)①;(2)证明见解析
【解析】
(1)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC;
(2)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC,从而得到OC为的平分线.
【详解】
(1)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC,从而得到OC为的平分线;
故答案为:①;
(2)如图,
连接MC、NC.
根据作图的过程知,
在△MOC与△NOC中,
,
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∠AOC=∠BOC,
∴OC为的平分线.
【点睛】
本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用,注意:三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
角平分线的性质:
角平分线上的点,到角两边的距离相等
定理:
角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
逆定理:
到角两边的距离相等的点在角平分线上。
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