如图，是⊙O的直径，E，C是上两点，且，连接，，过点C作交的延长线于点D．

（1）判定直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

答案

（1）直线DC与⊙O相切，理由见解析（2）-

【解析】

（1）连接OC，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，则∠ACO＝∠DAC，于是可判断OC∥AD，则根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线；
（2）连接OE、BC，作CH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到CH＝CD＝，求出△ACH的面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC的面积=△ACHD的面积，再利用S_阴影=S_梯形OCDE-S_扇形OCE=S_△ACD-S_扇形OCE= S_△ACH-S_扇形OCE，即可得出答案．

【详解】

证明：（1）直线DC与⊙O相切．
理由如下：连接OC，如图，

∵
∴∠EAC＝∠OAC

∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接OC、OE、CB，过C作CH⊥AB于H，

∵CH⊥AB，CD⊥AE

∴∠ADC=∠AHC，

∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC

∴△ADC≌△AHC

∴CH=，AH=AD，

∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°

∴∠CAH=∠BCH，

又∵∠CHA=∠BHC，

∴△CAH∽△BCH

∴

∴

∴AH=3或1（舍去1）

∴BH= 1

∴S_△ACH=

在Rt△CHB中，BH=1，HC=

∴∠BCH=30°=∠CAB

∴∠COB=∠EOC=60°

∴S_阴影=S_梯形OCDE-S_扇形OCE=S_△ACD-S_扇形OCE= S_△ACH-S_扇形OCE=-=-

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、扇形的面积公式及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键，求阴影部分面积时要注意转化思想的应用．