如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

答案

（1）；（2）见解析；（3），

【解析】

（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，把点B坐标代入求出a即可．

（2）由题意P（m，），求出d²，PF²（用m表示）即可解决问题．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．

【详解】

解:设抛物线的函数解析式为

由题意,抛物线的顶点为

又抛物线与轴交于点

抛物线的函数解析式为

（2）证明：∵P（m，n），

∴，

∴P（m，），

∴，

∵F（2，1），

∴，

∵，，

∴d²=PF²，

∴PF=d．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．

∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，

∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，

∵QF=QH，

∴DQ+DF=DQ+QH，

根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，

∴DQ+QH的最小值为6，

∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．