如图,过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.
(1)求证:PBE≌QDE;
(2)顺次连接点P、M、Q、N,求证:四边形PMQN是菱形.
(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)由ASA证△PBE≌△QDE即可;
(2)由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理△BME≌△DNE(ASA),得出EM=EN,证出四边形PMQN是平行四边形,由对角线PQ⊥MN,即可得出结论.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴EB=ED,AB∥CD,
∴∠EBP=∠EDQ,
在△PBE和△QDE中,
,
∴△PBE≌△QDE(ASA);
(2)证明:如图所示:
∵△PBE≌△QDE,
∴EP=EQ,
同理:△BME≌△DNE(ASA),
∴EM=EN,
∴四边形PMQN是平行四边形,
∵PQ⊥MN,
∴四边形PMQN是菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质,菱形的判定,全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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