如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A、B、C的距离分别为则正方形ABCD的面积为________
【解析】
如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H.首先证明∠PMC=90°,推出∠CMB=∠APB=135°,推出A,P,M共线,利用勾股定理求出AB2即可.
【详解】
解:如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H.
∵BP=BM=,∠PBM=90°,
∴PM=PB=2,
∵PC=4,PA=CM=2,
∴PC2=CM2+PM2,
∴∠PMC=90°,
∵∠BPM=∠BMP=45°,
∴∠CMB=∠APB=135°,
∴∠APB+∠BPM=180°,
∴A,P,M共线,
∵BH⊥PM,
∴PH=HM,
∴BH=PH=HM=1,
∴AH=2+1,
∴AB2=AH2+BH2=(2+1)2+12=14+4,
∴正方形ABCD的面积为14+4.
故答案为14+4.
【点睛】
本题考查旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
登录并加入会员可无限制查看知识点解析