如图,在平面直角坐标系中,的顶点是坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动,设运动的时间为t秒(),过点作轴,分别交于点,.
(1)填空:的长为_____,的长为____
(2)当时,求点的坐标:
(3)请直接写出的长为_____(用含的代数式表示);
(4)点是线段上一动点(点不与点重合),和的面积分别表示为和,当时,请直接写出(即与的积)的最大值为__________.
(1),;(2);(3);(4)16.
【解析】
(1)直接利用勾股定理求解即可;
(2)利用待定系数法求得直线AB的解析式,令求解即可得到点N的坐标;
(3)根据题意可得,利用相似三角形的性质即可求解;
(4)根据求解即可.
【详解】
解:(1)∵点的坐标为,点的坐标为,
∴,,
故答案为:,;
(2)设直线AB的解析式为,将,代入得:
,解得,
∴,
由题意可知点N的纵坐标为1,
∴令得,解得,
∴;
(3)∵动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动,运动的时间为t秒,
∴到OB的距离为t,
∴的高为,
∴与的高之比为,
∵,
∴,
∴,即;
∴,
故答案为:16.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等内容,掌握数形结合思想是解题的关键.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
登录并加入会员可无限制查看知识点解析