如图,在矩形中,,,对角线相交于点,点为边上一动点,连接,以为折痕,将折叠,点的对应点为点,线段与相交于点.若为直角三角形,则的长__________.
或1
【解析】
先根据矩形的性质、折叠的性质可得,,设,从而可得,再根据直角三角形的定义分和两种情况,然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得.
【详解】
四边形ABCD是矩形,,
由折叠的性质可知,
设,则
由题意,分以下两种情况:
(1)如图1,当时,为直角三角形
在和中,
,即
解得
,
在中,,即
解得
即
(2)如图2,当时,为直角三角形
,
,即
在和中,
,即
解得
,即
解得
即
综上,DP的长为或1
故答案为:或1.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,依据题意,正确画出图形,并分两种情况讨论是解题关键.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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