如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,折痕为EF,点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H.给出以下结论:①EF⊥BG;②GE=GF;③△GDK和△GKH的面积相等;④当点F与点C重合时,∠DEF=75°.其中正确的结论共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
【解析】
由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确.
【详解】
连接BE,由折叠可知BO=GO,
∵EG//BF,
∴∠EGO=∠FBO,
又∵∠EOG=∠FOB,
∴△EOG≌△FOB(ASA) ,
∴EG=BF,
∴四边形EBFG是平行四边形,
由折叠可知BE=EG,
则四边形EBFG为菱形,
故EF⊥BG,GE=GF,
∴①②正确;
∵四边形EBFG为菱形,
∴KG平分∠DGH,
∴,DG≠GH,
∴ S△GDK≠S△GKH,故③错误;
当点F与点C重合时,BE=BF=BC=12=2AB,
∴∠AEB=30°,,故④正确.
综合,正确的为①②④.
故选C.
【点睛】
本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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