如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
(1)见解析;(2)OE=5,BG=2.
【解析】
(1)先证明EO是△DAB的中位线,再结合已知条件OG∥EF,得到四边形OEFG是平行四边形,再由条件EF⊥AB,得到四边形OEFG是矩形;
(2)先求出AE=5,由勾股定理进而得到AF=3,再由中位线定理得到OE=AB=AD=5,得到FG=5,最后BG=AB-AF-FG=2.
【详解】
解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴点O为BD的中点,
∵点E为AD中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴OE∥FG,
∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB,∴平行四边形OEFG为矩形.
(2)∵点E为AD的中点,AD=10,
∴AE=
∵∠EFA=90°,EF=4,
∴在Rt△AEF中,.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=10,
∴OE=AB=5,
∵四边形OEFG为矩形,
∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
故答案为:OE=5,BG=2.
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定,菱形的性质、勾股定理等知识点,特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型,需要重点掌握.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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