正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图 1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心,DA 为半径作
，与半圆O交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形 ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.
性质探究：如图 2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O的切线.
证明：连接OP，OD.
由作图可知，DP=DC，OP=OC，
又∵OD=OD.
∴△OPD≌△OCD.（SSS）
∴∠OPD=∠OCD=90°．
∴DE 是半圆O的切线.
问题解决：
（1）如图3，在图2的基础上，连接OE.请判断∠BOE 和∠CDO的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD 之间的数量关系；
（3）如图 4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；
（4）如图5，已知点E，F，G，H 为正方形ABCD的四个“奇妙点”.连接AG，BH， CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系
答案
解：（1）∠BOE=∠CDO……………………………………………………………1分
理由如下：
∵△OPD≌△OCD.
∴∠OPD=∠OCD=90°，∠POD=∠COD，∠CDO=∠PDO= 
∠PDC.
∴∠POC+∠PDC=360°－∠OPD－∠OCD =180°.………………………………………2分
∵∠POC+∠BOP=180°，
∴∠BOP=∠PDC.……………………………………………………………………………3分
在 Rt△POE 和 Rt△BOE 中
∵OE=OE，OP=OB（由作图得出）.
∴△POE≌△BOE.
∴∠POE=∠BOE= ∠BOP…………………………………………4分
∵∠CDO=∠PDO=∠PDC.
∴∠BOE=∠CDO.…………………………………………………………………………5分
（2）线段DE，BE，CD 之间的数量关系是DE=BE+CD………………………………7分
（3）如答图，连接OE，OD，
由（1）可知，∠BOE=∠CDO.
又∵∠B=∠OCD=90°，点O为BC的中点，
∴tan∠BOE=tan∠CDO
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC.
（4）答案不唯一，例如，△ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的
等等.…………………………………12分
