已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 H,过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB
的延长线于 F,切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K.
(1) 如图 1,求证:KE=GE;
(2) 如图 2,连接 CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3) 如图 3,在(2)的条件下,连接 CG 交 AB 于点 N,若 sinE= ,AK= ,求 CN
的长.
1)证明:连接 OG.
∵EF 切⊙O 于 G,
∴OG⊥EF,
∴∠AGO+∠AGE=90°,
∵CD⊥AB 于 H,
∴∠AHD=90°,
∴∠OAG=∠AKH=90°,
∵OA=OG,
∴∠AGO=∠OAG,
∴∠AGE=∠AKH,
∵∠EKG=∠AKH,
∴∠EKG=∠AGE,
∴KE=GE.
(2) 设∠FGB=α,
∵AB 是直径,
∴∠AGB=90°,
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB= ∠ACH,
∴∠ACH=2α,
∴∠ACH=∠E,
∴CA∥FE.
(3) 作 NP⊥AC 于 P.
∵∠ACH=∠E,
∴sin∠E=sin∠ACH= = ,设 AH=3a,AC=5a, 则 CH= =4a,tan∠CAH= = ,
∵CA∥FE,
∴∠CAK=∠AGE,
∵∠AGE=∠AKH,
∴∠CAK=∠AKH,
∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=a,tan∠AKH= =3,AK= = a,
∵AK= ,
∴ a= ,
∴a=1.AC=5,
∵∠BHD=∠AGB=90°,
∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四边形 BGKH 中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,
∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,
∵NP⊥AC 于 P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在 Rt△APN 中,tan∠CAH== ,设 PN=12b,则 AP=9b, 在 Rt△CPN 中,tan∠ACN==3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,
∵AC=5,
∴13b=5,
∴b= ,
∴CN= =4 b= .
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