如图,已知二次函数 y=ax2+bx﹣3a 经过点 A(﹣1,0),C(0,3),与 x 轴交于另一点 B,抛物线的顶点为 D.
(1) 求此二次函数解析式;
(2) 连接 DC、BC、DB,求证:△BCD 是直角三角形;
(3) 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使得△PDC 为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵二次函数 y=ax2+bx﹣3a 经过点 A(﹣1,0)、C(0,3),
∴根据题意,得 , 解得 ,
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3.
(2)由 y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4 得,D 点坐标为(1,4),
∴CD= = ,
BC= =3 ,
BD= =2 ,
∵CD2+BC2=( )2+(3 )2=20,BD2=(2 )2=20,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD 是直角三角形;
(3) 存在.
y=﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x=1.
①若以 CD 为底边,则 P1D=P1C,
设 P1 点坐标为(x,y),根据勾股定理可得 P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)
2,
因此 x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2, 即 y=4﹣x.
又 P1 点(x,y)在抛物线上,
∴4﹣x=﹣x2+2x+3, 即 x2﹣3x+1=0,
解得 x1= ,x2= <1,应舍去,
∴x= ,
∴y=4﹣x= ,
即点 P1 坐标为( ,).
②若以 CD 为一腰,
∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点 P2 与点 C 关于直线 x=1 对称, 此时点 P2 坐标为(2,3).
∴符合条件的点 P 坐标为
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