学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.
在相距150个单位长度的直线跑道AB上,机器人甲从端点A出发,匀速往返于端点A、B之间,机器人乙同时从端点B出发,以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间.他们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计.
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.
【观察】
①观察图1,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度;
②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度;
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图象(线段OP,不包括点O,如图2所示).
①a= ;
②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图2中补全函数图象;
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.
若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,则他们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是 .(直接写出结果)
解:【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度,
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30=120个单位长度,
设机器人甲的速度为v,
∴机器人乙的速度为v=4v,
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为,
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为=,而,
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,
机器人乙从第一次相遇地点到点A,返回到点B,再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇,
设此时相遇点距点A为m个单位,
根据题意得,30+150+150﹣m=4(m﹣30),
∴m=90,
故答案为:90;
②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度,
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40=110个单位长度,
设机器人甲的速度为v,
∴机器人乙的速度为v=v,
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为=,
机器人甲从相遇点到点B所用时间为,而,
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,机器人从第一次相遇点到点A,再到点B,返回时和机器人乙第二次迎面相遇,
设此时相遇点距点A为m个单位,
根据题意得,40+150+150﹣m=(m﹣40),
∴m=120,
故答案为:120;
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时,
设机器人甲的速度为v,则机器人乙的速度为v,
根据题意知,x+150=(150﹣x),
∴x=50,
经检验:x=50是分式方程的根,
即:a=50,
故答案为:50;
②当0<x≤50时,点P(50,150)在线段OP上,
∴线段OP的表达式为y=3x,
当v<v时,即当50<x<75,此时,第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时,
设机器人甲的速度为v,则机器人乙的速度为v,
根据题意知,x+y=(150﹣x+150﹣y),
∴y=﹣3x+300,
即:y=,
补全图形如图2所示,
【拓展】如图,由题意知,x+y+150+150=(150﹣x+150﹣y),
∴y=﹣5x+300,
∵第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,
∴﹣5x+300≤60,
∴x≥48,
∵x<75,
∴48≤x<75,
故答案为48≤x<75.