【材料阅读】
地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的.
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径,PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数;
(2)已知OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长.(π取3.1)
解:(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,如图所示:
则∠DHC=67°,
∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°,
∴∠HBD=∠DHC=67°,
∵ON∥BH,
∴∠BEO=∠HBD=67°,
∴∠BOE=90°﹣67°=23°,
∵PQ⊥ON,
∴∠POE=90°,
∴∠POB=90°﹣23°=67°;
(2)同(1)可证∠POA=31°,
∴∠AOB=∠POB﹣∠POA=67°﹣31°=36°,
∴==3968(km).