已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),
即:3a=3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,
则顶点D(2,﹣1);
(2)∵OB=OC=4,∴∠OBC=∠OCB=45°,
AM=MB=ABsin45°==AD=BD,
则四边形ADBM为菱形,而∠AMB=90°,
∴四边形ADBM为正方形;
(3)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点H,
设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),
则S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),
∵﹣<0,故S△PBC有最大值,此时x=,
故点P(,﹣);
(4)存在,理由:
如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,
则HQ=CQ,
AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH,
直线HC所在表达式中的k值为,直线HC的表达式为:y=x+3…①
则直线AH所在表达式中的k值为﹣,
则直线AH的表达式为:y=﹣x+s,将点A的坐标代入上式并解得:
则直线AH的表达式为:y=﹣x+…②,
联立①②并解得:x=,
故点H(,),而点A(1,0),
则AH=,
即:AQ+QC的最小值为.