如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4
，点C是
上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．
答案
解：（1）如图，连接BC，OC，OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝ED，
∴DE＝EC＝BE，
∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△OCE≌△OBE（SSS），
∴∠OCE＝∠OBE，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，
∵OC为半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵OA＝OB，BE＝DE，
∴AD∥OE，
∴∠D＝∠OEB，
∵∠D＝30°，
∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵AB＝4
，
∴OB＝2，
∴
．
∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，
∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣
＝12
﹣4π．
