如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,PQ2=y.
(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围: ;
(2)当PQ=3时,求t的值;
(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=(k≠0)经过点D,问k的值是否变化?若不变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.
【解答】解:(1)过点P作PE⊥BC于点E,如图1所示.
当运动时间为t秒时(0≤t≤4)时,点P的坐标为(3t,0),点Q的坐标为(8﹣2t,6),
∴PE=6,EQ=|8﹣2t﹣3t|=|8﹣5t|,
∴PQ2=PE2+EQ2=62+|8﹣5t|2=25t2﹣80t+100,
∴y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).
故答案为:y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).
(2)当PQ=3时,25t2﹣80t+100=(3)2,
整理,得:5t2﹣16t+11=0,
解得:t1=1,t2=.
(3)经过点D的双曲线y=(k≠0)的k值不变.
连接OB,交PQ于点D,过点D作DF⊥OA于点F,如图2所示.
∵OC=6,BC=8,
∴OB==10.
∵BQ∥OP,
∴△BDQ∽△ODP,
∴===,
∴OD=6.
∵CB∥OA,
∴∠DOF=∠OBC.
在Rt△OBC中,sin∠OBC===,cos∠OBC===,
∴OF=OD•cos∠OBC=6×=,DF=OD•sin∠OBC=6×=,
∴点D的坐标为(,),
∴经过点D的双曲线y=(k≠0)的k值为×=.
【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用勾股定理,找出y关于t的函数解析式;(2)通过解一元二次方程,求出当PQ=3时t的值;(3)利用相似三角形的性质及解直角三角形,找出点D的坐标.