已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),
即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①,
顶点坐标为(﹣1,4);
(2)∵OB=OC,
∴∠CBO=45°,
∵S△CPD:S△BPD=1:2,
∴BD=BC=×=2,
yD=BDsin∠CBO=2,
则点D(﹣1,2);
(3)如图2,设直线PE交x轴于点H,
∵∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,
∴∠OHE=45°,
∴OH=OE=1,
则直线HE的表达式为:y=﹣x﹣1…②,
联立①②并解得:x=(舍去正值),
故点P(,);
(4)不存在,理由:
连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,
直线BC的表达式为:y=x+3,
设点P(x,﹣x2﹣2x+3),点H(x,x+3),
则S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3=8,
整理得:3x2+9x+7=0,
解得:△<0,故方程无解,
则不存在满足条件的点P.