如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(3,4),P为线段OA上一动点,过O,P,B三点的圆交x轴正半轴于点C,连结AB,PC,BC,设OP=m.
(1)求证:当P与A重合时,四边形POCB是矩形.
(2)连结PB,求tan∠BPC的值.
(3)记该圆的圆心为M,连结OM,BM,当四边形POMB中有一组对边平行时,求所有满足条件的m的值.
(4)作点O关于PC的对称点O',在点P的整个运动过程中,当点O'落在△APB的内部(含边界)时,请写出m的取值范围.
解:(1)∵∠COA=90°
∴PC是直径,
∴∠PBC=90°
∵A(0,4)B(3,4)
∴AB⊥y轴
∴当A与P重合时,∠OPB=90°
∴四边形POCB是矩形
(2)连结OB,(如图1)
∴∠BPC=∠BOC
∵AB∥OC
∴∠ABO=∠BOC
∴∠BPC=∠BOC=∠ABO
∴tan∠BPC=tan∠ABO=
(3)∵PC为直径
∴M为PC中点
①如图2,当OP∥BM时,延长BM交x轴于点N
∵OP∥BM
∴BN⊥OC于N
∴ON=NC,四边形OABN是矩形
∴NC=ON=AB=3,BN=OA=4
设⊙M半径为r,则BM=CM=PM=r
∴MN=BN﹣BM=4﹣r
∵MN2+NC2=CM2
∴(4﹣r)2+32=r2
解得:r=
∴MN=4﹣
∵M、N分别为PC、OC中点
∴m=OP=2MN=
②如图3,当OM∥PB时,∠BOM=∠PBO
∵∠PBO=∠PCO,∠PCO=∠MOC
∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO
在△BOM与△COM中
∴△BOM≌△COM(AAS)
∴OC=OB==5
∵AP=4﹣m
∴BP2=AP2+AB2=(4﹣m)2+32
∵∠ABO=∠BOC=∠BPC,∠BAO=∠PBC=90°
∴△ABO∽△BPC
∴
∴PC=
∴PC2=BP2= [(4﹣m)2+32]
又PC2=OP2+OC2=m2+52
∴ [(4﹣m)2+32]=m2+52
解得:m=或m=10(舍去)
综上所述,m=或m=
(4)∵点O与点O'关于直线对称
∴∠PO'C=∠POC=90°,即点O'在圆上
当O'与O重合时,得m=0
当O'落在AB上时,得m=
当O'与点B重合时,得m=
∴0≤m≤或m=
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