感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6
，CE＝4，则DE的长为 ．
答案
【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABP∽△PCD．
探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．
∵∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠CPD．
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴
，
∵点P是边BC的中点，
∴BP＝CP＝3
，
∵CE＝4，
∴
，
∴BD＝
，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
即AC⊥AB且AC＝AB＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝
，AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2，
在Rt△ADE中，DE＝
＝
＝
．
故答案是：．
【点评】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD．
