我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为 ；
(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
答案
(1) 解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
(2) 证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”；
(3) 解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当
=
=
时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
=5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=
（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴
=
，
∵DN∥AC，
∴
=
，即
，
∴CE=
，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴
，即
，
解得：EF=
；
②当
==时，同理得：EF=
；
综上所述，EF的长为．
