如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM、PM.
(1)求∠OMP的度数;
(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.
(1)∵△OPE的内心为M,
∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣(∠EOP+∠OPE),
∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,
∴∠PMO=180°﹣(∠EOP+∠OPE)=180°﹣(180°﹣90°)=135°;
(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,
而∠MOP=∠MOC,
∴△OPM≌△OCM,
∴∠CMO=∠PMO=135°,
所以点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(和);
点M在扇形BOC内时,
过C、M、O三点作⊙O′,连O′C,O′O,
在优弧CO取点D,连DA,DO,
∵∠CMO=135°,
∴∠CDO=180°﹣135°=45°,
∴∠CO′O=90°,而OA=4cm,
∴O′O=OC=×4=2,
∴弧OMC的长==π(cm),
同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为πcm,
所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm.
【点睛】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质,解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹.