如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,连 接 DF,过点 E 作 EH⊥DF,垂足为 H,EH 的延长线交 DC 于点 G.
(1)猜想 DG 与 CF 的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点 H 作 MN∥CD,分别交 AD,BC 于点 M,N,若正方形 ABCD 的边长为
10,点 P 是 MN 上一点,求△PDC 周长的最小值.
解:(1)结论:CF=2DG.
理由:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴CF=2DG.
(2)作点 C 关于 NM 的对称点 K,连接 DK 交 MN 于点 P,连接 PC,此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.