如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BA

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  • 难度: 使用次数:7 入库时间:2018-04-13

    如图四边形ABCD中,ADBCBCD=90°AB=BC+ADDAC=45°ECD上一点,且BAE=45°.若CD=4,则ABE的面积为(  )

    A  B  C  D

    答案


    D【解答】解法一:作AFCBCB的延长线于F,在CF的延长线上取一点G,是的FG=DE

    ADBC

    ∴∠BCD+ADC=180°

    ∴∠ADC=BCD=AFC=90°

    四边形ADCF是矩形,

    ∵∠CAD=45°

    AD=CD

    四边形ADCF是正方形,

    AF=ADAFG=ADF=90°

    ∴△AFG≌△ADE

    AG=AEFAG=DAE

    ∴∠FAG+FAB=EAD+FAB=45°=BAE

    ∴△BAE≌△BAG

    BE=BG=BF+GF=BF+DE

    BC=a,则AB=4+aBF=4a

    RtABF中,42+4a2=4+a2,解得a=1

    BC=1BF=3,设BE=b,则DE=b3CE=4﹣(b3=7b

    RtBCE中,12+7b2=b2,解得b=

    BG=BE=

    SABE=SABG=××4=

    解法二:如图取CD的中点F,连接BF延长BFAD的延长线于G,作FHABHEKABK.作BTADT

    BCAG[来源:Z§xx§k.Com]

    ∴∠BCF=FDG

    ∵∠BFC=DFGFC=DF

    ∴△BCF≌△GDF

    BC=DGBF=FG

    AB=BC+ADAG=AD+DG=AD+BC

    AB=AGBF=FG

    BFAFABF=G=CBF

    FHBAFCBC

    FH=FC,易证FBC≌△FBHFAH≌△FAD

    BC=BHAD=AH

    由题意AD=DC=4,设BC=TD=BH=x

    RtABT中,AB2=BT2+AT2

    x+42=42+4x2

    x=1

    BC=BH=TD=1AB=5

    AK=EK=yDE=z

    AE2=AK2+EK2=AD2+DE2BE2=BK2+KE2=BC2+EC2

    42+z2=2y2

    5y2+y2=12+4z2

    得到2510y+2y2=178z+z2

    代入可得z=

    代入可得y=(负根已经舍弃),

    SABE=×5×=

    故选D

     


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