放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图,他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处,此时风筝AD与水平线的夹角为30°,为了便于观察,小明迅速向前边移动,收线到达了离A处10米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A,B,C在同一条水平直线上,请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米?(风筝线AD,BD均为线段,≈1.414,≈1.732,最后结果精确到1米).
【考点】T8:解直角三角形的应用.
【分析】作DH⊥BC于H,设DH=x米,根据三角函数表示出AH于BH的长,根据AH﹣BH=AB得到一个关于x的方程,解方程求得x的值,进而求得AD﹣BD的长,即可解题.
【解答】解:作DH⊥BC于H,设DH=x米.
∵∠ACD=90°,
∴在直角△ADH中,∠DAH=30°,AD=2DH=2x,AH=DH÷tan30°=x,
在直角△BDH中,∠DBH=45°,BH=DH=x,BD=x,
∵AH﹣BH=AB=10米,
∴x﹣x=10,
∴x=5(+1),
∴小明此时所收回的风筝的长度为:
AD﹣BD=2x﹣x=(2﹣)×5(+1)≈(2﹣1.414)×5×(1.732+1)≈8米.
答:小明此时所收回的风筝线的长度约是8米.
直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC
直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)
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