如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时,求DQ的长;
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB , ∠DAQ= ∠BAQ=45°
又 AQ=AQ ∴△ADQ≌△ABQ
即 无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ
(2)作 QE⊥AD于E,由(1)得△ADQ≌△ABQ ∴S△ADQ = S△ABQ
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的
∴ AD×QE=S正方形ABCD= ∴QE=
又∵QE⊥AD ,∠DAQ= 45°∴∠AQE =∠DAQ= 45°∴ AE=QE= ∴DE=4-=
∴在Rt△DEQ中,DQ= ……… 7分
(3)若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD ……… 8分
①当点P运动到与点B重合时,由正方形知QD=QA此时△ADQ是等腰三角形;……9分
②当点P与点C重合时,点Q与点C重合,此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形;…10分
③如图,设点P在BC边上运动到CP=x时,有AD=AQ ……… 11分
∵AD∥BC ∴∠ADQ=∠CPQ.
又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,∴∠CQP=∠CPQ.
∴CQ=CP=x.
∵AC=,AQ=AD=4.∴x=CQ=AC-AQ=-4.
即当CP=-4时,△ADQ是等腰三角形.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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