如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
(1)证明:能.………1分
理由如下:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,∴DF=2t. ……… 2分
又∵AE=2t,∴AE=DF. ……… 3分
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.
又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.……… 5分
当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解得t=10.
∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形. ……… 6分
(2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=60°,∴∠AED=30°.∴AD=AE=t.
又AD=60-4t,即60-4t=t,解得t=12;……… 8分
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,
∴AD=2AE,即60-4t=4t,解得t=;
③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.
故当t=或12秒时,△DEF为直角三角形.………12分
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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