如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.若BC=2,求AB的长.
(1)证明:在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAC=∠FCO, ……… 2分
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS), ………4分
∴OE=OF; ……… 5分
连接OB,∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF, ……… 6分
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO, ……… 7分
又∵∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°,
解得∠BAC=30°, ……… 8分
∵BC=2,∴AC=2BC=4, ……… 9分
∴AB===6. ……… 10分
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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