已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．

（1）点B的坐标为　　　　　　．

（2）判断△BDE的形状，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一个动点，当∠MBD=45°时，请你直接写出点M的坐标．

答案

【考点】一次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）利用正方形的性质得到BC=BA，然后利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；

（2）先利用勾股定理分别计算出DE、BE、BD，然后利用勾股定理的逆定理可证明△BDE为直角三角形；

（3）连结BO，根据正方形的性质得BO=OA=4，∠BOA=45°，分类讨论：当点M在点D右侧，如图1，先证明△MBD∽△MOB，利用相似比可得到MB²=MO•MD=MA²+7MA+12，而由勾股定理得到MB²=AB²+AM²，所以MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，解方程得到AM=，则此时M点坐标为（，0）；当点M在点D左侧，如图2，证明△DOB∽△DBM，利用相似比可计算出DM，从而可确定此时M点的坐标．

【解答】解：（1）∵正方形ABCO的边长为4，

∴BC=BA=4，

∴B点坐标为（4，4）；

故答案为（4，4）；

（2）△BDE为直角三角形．理由如下：

∵D（1，0），点E为OC的中点，

∴OE=CE=2，OD=1，

∴AD=3，

∴DE²=OD²+OE²=1+4=5，BE²=CE²+BE²=4+16=20，DB²=AD²+AB²=9+16=25，

∵5+20=25，

∴DE²+BE²=DB²，

∴△BDE为直角三角形，∠BED=90°；

（3）连结BO，

∵正方形ABCO的边长为4，

∴BO=OA=4，∠BOA=45°，

当点M在点D右侧，如图1，

∵∠MBD=∠BOM=45°，∠DMB=∠OBM，

∴△MBD∽△MOB，

∴MB：MO=MD：MB，即MB²=MO•MD，

∴MB²=（MA+4）（MA+3）=MA²+7MA+12，

而MB²=AB²+AM²，

∴MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，

∴AM=，

∴OM=4+=，

∴M点坐标为（，0）；

当点M在点D左侧，如图2，

∵∠MBD=∠BOD=45°，∠ODB=∠BDM，

∴△DOB∽△DBM，

∴OD：BD=BD：DM，

即1：5=5：DM，

∴DM=25，

∴MO=MD﹣OD=25﹣1=24，

∴M点坐标为（﹣24，0），

综上所述，M点的坐标为（﹣24，0）或（，0）．

【点评】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比进行几何计算，同时注意分类讨论思想的运用．