如图,在△ABC中,AC=BC=5cm,AB=6cm,CD⊥AB于点D.动点P、Q同时从点C出发,点P沿线CD做依次匀速往返运动,回到点C停止;点Q沿折线CA=AD向终点D做匀速运动;点P、Q运动的速度都是5cm/s.过点P作PE∥BC,交AB于点E,连结PQ.当点P、E不重合点P、Q不重合时,以线段PE∥BC,交AB于点E,连结PQ.当点P、E不重合且点P、Q不重合时,以线段PE、PQ为一组邻边作▱PEFQ.设点P运动的时间为t(s),▱PEFQ与△ABC重叠部分的面积为S(cm2).
(1)用含t的代数式表示线段PE的长.
(2)当点F在线段AB上时,求t的值.
(3)当点Q在线段AB上运动时,求S与t之间的函数关系式.
(4)在整个运动过程中,当▱PEFQ为矩形时,直接写出t的值.
【考点】相似形综合题.
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】(1)根据题意,分两种情况:①当0<t<时;②当<t≤时;然后根据PE∥BC,可得,据此用含t的代数式表示线段PE的长即可.
(2)首先用含t的代数式表示出QF、QA,然后根据QA=QF,求出t的值是多少即可.
(3)首先作PM⊥BC于点M,作QN⊥BC于点N,设▱PEFQ的高为h,分别用含t的代数式表示出PM、QN,进而用含t的代数式表示出h;然后根据三角形的面积的求法,求出S与t之间的函数关系式即可.
(4)当▱PEFQ为矩形时,推得∠DQP=∠BCD,然后根据tan∠DQP=tan∠BCD==,可得,据此求出t的值是多少即可.
【解答】解:(1)∵AC=BC=5cm,CD⊥AB于点D,
∴点D是AB的中点,AD=6÷2=3(cm),
∵AC=5cm,
∴CD==(cm).
①当0<t<时,如图1,
∵PC=5t,
∴PD=CD﹣PC=4﹣5t,
∵PE∥BC,
∴,
∴PE==(4﹣5t)=5﹣t.
②当<t≤时,如图2,
,
PD=5t﹣4,
∵PE∥BC,
∴,
∴PE==(5t﹣4)=t﹣5.
综上,可得
PE=.
(2)如图3,
QF=PE=t﹣5
∵CQ=5t,
∴QA=AC﹣CQ=5﹣5t,
∵PE∥BC,PE∥QF,
∴QF∥BC,
∴,
∵AC=BC,
∴QA=QF,
∴5﹣5t=t﹣5,
解得t=.
(3)如图4,作PM⊥BC于点M,作QN⊥BC于点N,
设▱PEFQ的高为h,
∵sin∠PCM=,
∴PM=PC•sin∠PCM=(8﹣5t)×=﹣3t,
∵sin∠QBN==,
∴QN=BQ•sin∠QBN=[6﹣(5t﹣5)]×=﹣4t,
∴h=QN﹣PM=(﹣4t)﹣(﹣3t)=4﹣t,
∴S==(t﹣5)×(4﹣t)=﹣t2+15t﹣10.
(4)如图5,当▱PEFQ为矩形时,
PD=5t﹣4,QD=8﹣5t,
∵▱PEFQ为矩形,
∴∠DQP+∠DEP=90°,
∵∠B+BCD=90°,∠DEP=∠B,
∴∠DQP=∠BCD,
∴tan∠DQP=tan∠BCD==,
∴,
解得t=.
【点评】(1)此题主要考查了相似形综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了函数关系式的求法、矩形的性质和应用、三角函数的应用、三角形的面积的求法,要熟练掌握.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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