【发现问题】如图①,在△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的形外作等腰直角三角形,直角的顶点分别为D、E,点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点.求证:△DFM≌△MGE.
【拓展探究】如图②,在△ABC中,分别以AB、AC为底边,向△ABC的形外作等腰三角形,顶角的顶点分别为D、E,且∠BAD+∠CAE=90°.点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,若AD=5,AB=6,△DFM的面积为32,直接写出△MGE的面积.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】【发现问题】根据等腰直角三角形的性质得到∠DFB=90°,DF=FA;∠EGC=90°,AG=GE,根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC,MG∥AB,推出四边形AFMG是平行四边形,根据平行四边形的性质得到FM=AG,MG=FA,∠BFM=∠BAC,∠BAC=∠MGC,即可得到结论;
【拓展探究】根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC,MG∥AB,FM=AC=AG,MG=AB=AF,∠MGC=∠BAC=∠BFM,等量代换得到∠DFM=∠MGE,根据余角的性质得到∠1=∠3,根据三角函数的定义,推出,得到△DFM∽△MGE,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】【发现问题】证明:∵△ADB是等腰直角三角形,F为斜边AB的中点,
∴∠DFB=90°,DF=FA;
∵△ACE是等腰直角三角形,G为斜边AC的中点,
∴∠EGC=90°,AG=GE,
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,
∴FM∥AC,MG∥AB,
∴四边形AFMG是平行四边形,
∴FM=AG,MG=FA,∠BFM=∠BAC,∠BAC=∠MGC,
∴DF=MG,∠DFM=∠MGE,FM=GE,
在△DFM与△MGE中,
,
∴△DFM≌△MGE.
【拓展探究】∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,
∴FM∥AC,MG∥AB,FM=AC=AG,MG=AB=AF,∠MGC=∠BAC=∠BFM,
∴∠DFM=∠MGE,
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∴tan∠1=tan∠3,
即,
∴,
∵∠DFM=∠MGE,
∴△DFM∽△MGE,
∴,
∴S△MGE=18.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质.三角形的中位线的性质,等腰三角形的性质,证得△DFM∽△MGE是解题的关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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