在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.
(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为 45°或135° ;
(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.
(3)连接AD,当OC∥AD时,
①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由.
考点:
圆的综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算△ABC的面积;
(3)①过C点作CF⊥x轴于F,易证Rt△OCF∽Rt△AOD,则=,即=,解得CF=,再利用勾股定理计算出OF=,则可得到C点坐标;
②由于OC=3,OF=,所以∠COF=30°,则可得到∴BOC=60°,∠AOD=60°,然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD,所以∠BCO=∠ADC=90°,再根据切线的判定定理可确定
直线BC为⊙O的切线.
解答:
解:(1)∵点A(6,0),点B(0,6),
∴OA=OB=6,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OBA=45°,
∵OC∥AB,
∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,
过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,
∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴OE=AB=3,
∴CE=OC+CE=3+3,△ABC的面积=CE•AB=×(3+3)×6=9+18.
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9+18.
(3)①如图,过C点作CF⊥x轴于F,
∵OC∥AD,
∴∠ADO=∠COD=90°,
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°,
∴∠COF=∠DAO,
∴Rt△OCF∽Rt△AOD,
∴=,即=,解得CF=,
在Rt△OCF中,OF==,
∴C点坐标为(﹣,);
②直线BC是⊙O的切线.理由如下:
在Rt△OCF中,OC=3,OF=,
∴∠COF=30°,
∴∠OAD=30°,
∴∠BOC=60°,∠AOD=60°,
∵在△BOC和△AOD中
,
∴△BOC≌△AOD(SAS),
∴∠BCO=∠ADC=90°,
∴OC⊥BC,
∴直线BC为⊙O的切线.
点评:
本题考查了圆的综合题:掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.