如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．

（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

答案

考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；

（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；

（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．

解答：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

∵在△ABF和△ADF中，

∴△ABF≌△ADF，

∴∠AFD=∠AFB，

∵∠AFB=∠AFE，

∴∠AFD=∠CFE；

（2）证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

又∵∠BAC=∠DAC，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴AB=CB=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，

在△BCF和△DCF中，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠EFD=∠BCD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．