第一课时 两圆的公切线（一）

教学 目标：

（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

（2）培养学生的归纳、总结能力；

（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

教学 重点：

理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

教学 难点：

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

教学 活动设计

（一）实际问题（引入）

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

（二） 两圆的公切线概念

1、概念：

教师 引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

和两圆都相切的直线，叫做两圆的 公切线．

(1) 外公切线 ：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

(2) 内公切线： 两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

(3) 公切线的长 ：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

2、理解概念：

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

（三）两圆的位置与公切线条数的关系

组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．

（四）应用、反思、总结

例 1 、 已知：⊙O ₁ 、⊙O ₂ 的半径分别为2cm和7cm，圆心距O ₁ O ₂ =13cm，AB是⊙O ₁ 、⊙O ₂ 的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．

分析： 首先想到切线性质，故连结O ₁ A、O ₂ B，得直角梯形AO ₁ O ₂ B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析， 教师 点拨，规范步骤）

解： 连结O ₁ A、O ₂ B，作O ₁ A⊥AB，O ₂ B⊥AB．

过 O ₁ 作O ₁ C⊥O ₂ B，垂足为C，则四边形O ₁ ABC为矩形，

于是有

O ₁ C⊥C O ₂ ，O ₁ C= AB，O ₁ A=CB．

在Rt△O ₂ CO ₁ 和．

O ₁ O ₂ =13，O ₂ C= O ₂ B- O ₁ A=5

AB= O ₁ C= (cm)．

反思： （1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

例 2* 、 如图，已知⊙O ₁ 、⊙O ₂ 外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．

分析： 因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．

解： 过点P作两圆的公切线CD

∵ AB是⊙O ₁ 和⊙O ₂ 的切线，A、B为切点

∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90°　　即∠APB=90°

在 Rt△APB中，AB ² =AP ² +BP ²

说明： 两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．

（五）巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)

(A)直角三角形　(B)等腰三角形　(C)等边三角形　(D)以上答案都不对．

此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

2、外公切线是指

(A)和两圆都祖切的直线　(B)两切点间的距离

(C)两圆在公切线两旁时的公切线　(D)两圆在公切线同旁时的公切线

直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)

3、教材P141练习（略）

（六）小结（组织学生进行）

知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

思想：“转化”思想．

（七）作业：P151习题10，11．
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