(2019·河南中考模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.直线y=x+3经过点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM∥y轴交直线AC于点M,设点P的横坐标为t.
①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形,求t的值.
②当射线MP,AC,MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时,直接写出t的值.
(1);(2)①满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2;②综合以上可得t的值为
【解析】
(1)在y=x+3中,令x=0,y=3;令y=0,x=﹣4,得A(﹣4,0),C(0,3),
代入抛物线y=-x2+bx+c解析式得:,
∴抛物线的解析式;
(2)设P(t,),
∵四边形OCMP为平行四边形,
∴PM=OC=3,PM∥OC,
∴M点的坐标可表示为(t,t+3),
∴PM=,
∴|=3,
当﹣t2﹣3t=3,解得t=2,
当﹣t2﹣3t=﹣3,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2,
综上所述,满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2;
(3)如图1,
若当MP平分AC、MO的夹角,
则∠AMN=∠OMN,
∵PN⊥OA,
∴AN=ON,
∴t的值为﹣2;
如图2,
若AC平分MP、MO的夹角,过点C作CH⊥OA,CG⊥MP,
则CG=CH,
∵,
∴OM=OC=3,
∵点M在直线AC上,
∴M(t,t+3),
∴MN2+ON2=OM2,可得,,
解得t=﹣,
如图3,
若MO平分AC、MP的夹角,则可得∠NMO=∠OMC,过点O作OK⊥AC,
∴OK=ON,
∵∠AKO=∠AOC=90°,∠OAK=OAC,
∴△AOK∽△ACO,
∴,
∴,
∴OK=,
∴t=﹣,
综合以上可得t的值为.
【点睛】
本题考查了二次函数的知识,其中涉及了平行四边形的判定,角平分线的性质定理、等腰三角形的判定等知识.
(2019·山东中考模拟)已知,正方形ABCD,∠EAF=45°,
(1)如图1,当点E,F分别在边BC,CD上,连接EF,求证:EF=BE+DF;
(2)如图2,点M,N分别在边AB,CD上,且BN=DM,当点E,F分别在BM,DN上,连接EF,请探究线段EF,BE,DF之间满足的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E,F分别在对角线BD,边CD上,若FC=2,则BE的长为 .
(1)见解析;(2)EF2=BE2+DF2 ;理由见解析;(3)
【解析】
(1)证明:如图1中,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,
∴△ADF≌△ABG,
∴AF=AG,DF=BG,∠DAF=∠BAG,
∵正方形ABCD,
∴∠D=∠BAD=∠ABE=90°,AB=AD,
∴∠ABG=∠D=90°,即G、B、C在同一直线上,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=90°﹣45°=45°,
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,
即∠EAG=∠EAF,
∴△EAG≌△EAF(SAS),
∴EG=EF,
∵BE+DF=BE+BG=EG,
∴EF=BE+DF.
(2)结论:EF2=BE2+DF2,
理由:将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABH,(如图2)
∴△ADF≌△ABH,
∴AF=AH,DF=BH,∠DAF=∠BAH,∠ADF=∠ABH,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=90°﹣45°=45°,
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,
即∠EAH=∠EAF,
∴△EAH≌△EAF(SAS),
∴EH=EF,
∵BN=DM,BN∥DM,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∴∠ABE=∠MDN,
∴∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN=∠ADM=90°,
∴EH2=BE2+BH2,
∴EF2=BE2+DF2,
(3)作△ADF的外接圆⊙O,连接EF、EC,过点E分别作EM⊥CD于M,EN⊥BC于N(如图3).
∵∠ADF=90°,
∴AF为⊙O直径,
∵BD为正方形ABCD对角线,
∴∠EDF=∠EAF=45°,
∴点E在⊙O上,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴AE=EF,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE,
∴CE=EF,
∵EM⊥CF,CF=2,
∴CM= CF=1,
∵EN⊥BC,∠NCM=90°,
∴四边形CMEN是矩形
∴EN=CM=1,
∵∠EBN=45°,
∴BE=EN= .
故答案为
【点睛】
本题考查了正方形的性质,旋转,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,等腰三角形性质,其中(1)(2)里运用转化思想是解题关键,为半角模型的常规题型.第(3)问作为填空题可用特殊位置得到答案,证明过程关键条件是正方形对角线,利用两个45°角联想到四点共圆,再利用圆周角定理得到△AEF为等腰直角三角形.
(2019·河北中考模拟)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表:
时间(天) | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
日销售量(件) | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为:y1=t+25(1≤t≤20且t为整数);后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为:y2=-t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系,利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式;
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程,公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求a的取值范围.
(1)y=﹣2t+96;(2)当t=14时,利润最大,最大利润是578元;(3)3≤a<4.
【解析】
(1)设数m=kt+b,有,解得
∴m=-2t+96,经检验,其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96.
(2)设日销售利润为P,
由P=(-2t+96)=t2-88t+1920=(t-44)2-16,
∵21≤t≤40且对称轴为t=44,
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小,
∴当t=21时,P有最大值为(21-44)2-16=529-16=513(元),
答:来40天中后20天,第2天的日销售利润最大,最大日销售利润是513元.
(3)P1=(-2t+96)
=-+(14+2a)t+480-96n,
∴对称轴为t=14+2a,
∵1≤t≤20,
∴14+2a≥20得a≥3时,P1随t的增大而增大,
又∵a<4,
∴3≤a<4.
点睛:解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式,并会根据图示得出所需要的信息.同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系,利用不等式组求解.
(2019·河北中考模拟)已知:BD为⊙O的直径,O为圆心,点A为圆上一点,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,点C为⊙O上一点,且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.
(1)如图1,求证:∠ABF=∠ABC;
(2)如图2,点H为⊙O内部一点,连接OH,CH若∠OHC=∠HCA=90°时,求证:CH=DA;
(3)在(2)的条件下,若OH=6,⊙O的半径为10,求CE的长.
(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
为的直径,
,
,
是的切线,
,
,
,
,
,
,
;
如图2,连接OC,
,
,
,
,
,
,
即,
,
,
∽,
,
;
由知,∽,
,
,的半径为10,
,,
,
在与中,
,
≌,
,,
,
,
,
,
,,
,BC交于E,
,
.
【点睛】
本题考查了切线的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的性质,勾股定理,射影定理,相交弦定理,正确的识别图形是解题的关键.
(2019·山东中考模拟)如图,反比例函数y=(x>0)的图象上一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于B,CD∥AB,交x轴于C,交反比例函数图象于D,BC=2,CD=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若点P是y轴上一动点,求PA+PB的最小值.
(1);(2)2
【解析】
解:(1)∵CD∥y轴,CD=,
∴点D的坐标为:(m+2,),
∵A,D在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴4m=(m+2),
解得:m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∴k=4m=4,
∴反比例函数的解析式为:y=;
(2)过点A作AE⊥y轴于点E,并延长AE到F,使AE=FE=1,连接BF交y轴于点P,则PA+PB的值最小.
∴PA+PB=PF+PB=BF=.
【点睛】
此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质.注意准确表示出点D的坐标和利用轴对称正确找到点P的位置是关键.
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