如图1,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),抛物线顶点为D,连接AC,BC,CD,BD,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,作PM⊥x轴于点M,设点M的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)试探究是否存在这样的点P,使得以P,M,B为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,PM交线段BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交线段BC于点F,请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出当m为何值时QF有最大值.
【解析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),
将C(0,-3),代入可得:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3,
根据顶点坐标公式得出D的坐标为
∴点D的坐标为(1,﹣4);
(2)由(1)知,点B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3)、(1,﹣4),
则BC=3 ,CD=,BD=,
则△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
①当△PMB∽△BCD时,
则∠MPB=∠DBC,即:tan∠MPB=tan∠DBC= ,
∵点M(m,0),则点P(m,m2﹣2m﹣3),
tan∠MPB=,
解得:m=2或3(舍去3),
故点P(2,﹣3);
②当△BMP∽△BCD时,
同理可得:点P(﹣,﹣);
故点P的坐标为:(2,﹣3)或(﹣,﹣);
(3)设QF为y,作FH⊥PM于点H,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
则FH=QH=y,
∵PE∥AC,PM∥OC,则∠PEM=∠HFP=∠CAO,
∴△FHP∽△AOC,
则PH=3FH=y,
∴PQ=,
根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为:y=x﹣3,
则点P(m,m2﹣2m﹣3),点Q(m,m﹣3),
所以PQ=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,即:2y=﹣m2+3m,
则y=,.
∴当m=时,QF有最大值.
如图,四边形中ABCD,AB∥CD,BC⊥AB,AD=CD=8cm,AB=12cm,动点M从A出发,沿线段AB作往返运动(A﹣B﹣A),速度为3(cm/s),动点N从C出发,沿着线段C﹣D﹣A运动,速度为2(cm/s),当N到达A点时,动点M、N运动同时停止.
(1)当t=5(s)时,则MN两点间距离等于 (cm);
(2)当t为何值时,MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分?
(3)若线段MN与AC的交点为P,探究是否存在t的值,使得AP:PC=1:2?若存在,请求出所有t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)如图所示,当t=5(s)时,点N移动的路程为10,点M移动的路程为15,
∴点N在AD上,DN=10﹣8=2,点M在AB上,BM=15﹣12=3,
∴AN=6,AM=9,
过D作DE⊥AB,过N作NF⊥AB,则BE=CD=8,AE=12=8=4,
∴Rt△ADE中,DE=
∵NF∥DE,
∴,即
∴NF=3 ,AF=3,
∴FM=9﹣3=6,
∴Rt△MNF中,MN=
故答案为3 ;
(2)∵四边形中ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AD=CD=8cm,AB=12cm,
而BC=4 ,则梯形ABCD的面积=
①当0≤t≤4时,如图,则BM=12﹣3t,CN=2t,
∴梯形BCNM的面积=
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分,
∴
∴t=2.
②当4<t≤8时,如图,则AM=24﹣3t,AN=16﹣2t,
∴△AMN的面积=
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分,
∴
∴
又∵4<t≤8,
∴
综上所述:或t=2或8
(3)①当0≤t≤4时,如图,则AM=3t,CN=2t.
∵AB∥CD,
∴不存在符合条件的t值.
②当4<t≤8时,如图,分别延长CD、MN交于点Q.
则AM=24﹣3t,AN=16﹣2t,DN=2t﹣8.
∵AB∥CD,
∴,即
解得DQ=3(t﹣4),
∴CQ=3t﹣4.
∵AB∥CD,
∴,即
解得t= ,
综上可知:存在实数t=使得AP:PC=1:2成立.
某水果零售商店,通过对市场行情的调查,了解到两种水果销路比较好,一种是冰糖橙,一种是睡美人西瓜.通过两次订货购进情况分析发现,买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元,买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元.
(1)请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元?
(2)该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱,冰糖橙每箱以40元价格出售,西瓜以每箱50元的价格出售,获得的利润为w元.设购进的冰糖橙箱数为a箱,求w关于a的函数关系式;
(3)在条件(2)的销售情况下,但是每种水果进货箱数不少于30箱,西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍,请你设计进货方案,并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少?
【解析】(1)设每箱冰糖橙进价为x元,每箱睡美人西瓜进价为y元,
由题意,得,
解得:,
即设每箱冰糖橙进价为35元,每箱睡美人西瓜进价为40元;
(2)根据题意得,
w=(40﹣35)a+(50﹣40)(200﹣a)=﹣5a+2000;
(3)设购买冰糖橙a箱,则购买睡美人西瓜为(200﹣a)箱,
则200﹣a≥5a且a≥30,
解得,
由(2)得w=﹣5a+2000,
∵﹣5,w随a的增大而减小,
∴当a=30时,y最大.
即当a=30时,w最大=﹣5×30+2000=1850(元).
答:当购买冰糖橙30箱,则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润,最大利润为1850元.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若CF=2,CE=4,求⊙O的半径.
【解析】(1)证明:连接OE.
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBC,
∴∠EBC=∠OEB,
∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠C,
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r.
过点O作OH⊥BF交BF于H,
由题意可知四边形OECH为矩形,
∴OH=CE=4,CH=OE=r,
∴BH=FH=CH-CF=r-2,
在Rt△BHO中,∵OH2+BH2=OB2,
∴42+(r-2)2=r2,
解得r=5.
∴⊙O的半径为5.
图1,图2均为正方形网格,每个小正方形的边长均为,各个小正方形的顶点叫做格点,请在下面的网格中按要求分别画图使得每个图形的顶点均在格点上.
以为一边,画一个成中心对称的四边形,使其面积等于;
以为对角线,画一个成轴对称的四边形,使其面积等于.并直接写出这个四边形的周长.
【解析】(1)如图,BC=5,BC边上的高为4的平行四边形ABCD为所求;
(2)如图,由两个等腰直角三角形组成的正方形EFGH为所求,边长为2,则周长为8.
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