如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)已知点P(m,n)在抛物线上,当﹣2≤m<3时,直接写n的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M,点D与点C关于点M对称,试问在该抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABD全等?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将点C坐标代入函数表达式得:y=x2+bx﹣3,
将点A的坐标代入上式并解得:b=﹣2,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)令y=x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,即点B(3,0),
函数的对称轴为x=1,
m=﹣2时,n=4+4﹣3=5,
m<3,函数的最小值为顶点纵坐标的值:﹣4,
故﹣4≤n≤5;
(3)点D与点C(0,﹣3)关于点M对称,则点D(2,3),
在x轴上方的P不存在,点P只可能在x轴的下方,
如下图当点P在对称轴右侧时,点P为点D关于x轴的对称点,此时△ABP与△ABD全等,
即点P(2,﹣3);
同理点C(P′)也满足△ABP′与△ABD全等,
即点P′(0,﹣3);
故点P的坐标为(0,﹣3)或(2,﹣3).
(1)△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形,如图1,其中∠ACB=∠DCE=90°,连结AD、BE,求证:△ACD≌△BCE.
(2)△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,CD<AC,△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α(0°<α<180°);
①如图2,DE与BC交于点F,与AB交于点G,连结AD,若四边形ADEC为平行四边形,求的值;
②若AB=10,DE=8,连结BD、BE,当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,求BE的长.
【解析】(1)证明:∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中, ,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)解:①连接CG,如图2所示:
∵四边形ADEC为平行四边形,
∴AD∥CE,
∴∠ADE+∠CED=180°,
∵∠CED=90°﹣∠CDE=90°﹣30°=60°,
∴∠ADE=120°,
∴∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=90°,
∵∠CAB=∠CDE=30°,
∴A、D、G、C四点共圆,
∴∠AGC=∠ADC=90°,
∵∠CAB=30°,
∴CG=AC,AG=CG,∠BCG=30°,
∴CG=BG,即BG= CG,
∴ =3;
②分三种情况:
当∠BED=90°时,如图3所示:
∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴∠ACD=∠BCE,,
∴△ACD∽△BCE,
∴=,
∴AD=BE,
∴∠ADC=∠BEC=90°+∠CED=90°+60°=150°,
∵∠CDE=30°,
∴∠CDE+∠ADC=180°,
∴A、D、E共线,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2+BE2=AB2,
即(BE+8)2+BE2=102,
解得:BE=﹣2± (负值舍去),
∴BE=﹣2+;
当∠DBE=90°时,如图4所示:
作CF⊥AB于F,则∠BCF=30°,
∴BF=BC,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴BC=AB=5,CEDE=4,
∴CD=CE=4,
∴BF=BC=,
∴CF=BF= ,
∴DF=,
∵AB=AD+DF+BF,
∴AD=10﹣,
∴BE=;
当∠BDE=90°时,如图5所示:
作BG⊥CD于G,则∠BDG=∠BDE﹣∠CDE=60°,
∴∠DBG=30°,∴BD=2DG,BG=DG,
设DG=x,则CG=4﹣x,BG=x,
在Rt△BCG中,由勾股定理得:CG2+BG2=BC2,
即(4﹣x)2+(x)2=52,
整理得:4xx+23=0,
∵△=(﹣8)2﹣4×4×23<0,∴此方程无解;
综上所述,当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为﹣2+ 或.
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t﹣5t2.
(1)小球飞行时间是多少时,小球最高?最大高度是多少?
(2)小球飞行时间t在什么范围时,飞行高度不低于15m?
【解析】(1)∵h=﹣5t2+20t=﹣5(t﹣2)2+20,
∴当t=2时,h取得最大值20米;
答:小球飞行时间是2s时,小球最高为20m;
(2)如图,
由题意得:15=20t﹣5t2,解得:t1=1,t2=3,
由图象得:当1≤t≤3时,h≥15,
则小球飞行时间1≤t≤3时,飞行高度不低于15m.
如图,点C在⊙O上,联结CO并延长交弦AB于点D,,联结AC、OB,若CD=40,AC=20.
(1)求弦AB的长;
(2)求sin∠ABO的值.
【解析】(1)∵CD过圆心O, ,
∴CD⊥AB,AB=2AD=2BD,
∵CD=40, ,
又∵∠ADC=,
∴,
∴AB=2AD=40;
(2)设圆O的半径为r,则OD=40-r,
∵BD=AD=20, ∠ODB= , ∴,
∴,
∴r=25,OD=15,
∴.
如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)按下列要求作图:
①将△ABC向左平移4个单位,得到△A1B1C1;
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B2C2.
(2)求点C1在旋转过程中所经过的路径长.
【解析】(1)①如图,△A1B1C1为所作;
②如图,△A2B2C2为所作;
(2)点C1在旋转过程中所经过的路径长=
本卷还有19题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户czsfhggs分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。