如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC与x轴交于点C,且点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点P为线段AB上一点,点Q为线段BC上一点,BQ=AP,连接PQ,设点P的横坐标为t,△PBQ的面积为S(),求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当S取最大值时,若点M是平面内的一点,在直线AB上是否存在点N,使得以点P,Q,M,N为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写岀符合条件的点 N坐标;若不存在,清说明理由.
解:(1)∵,当y =0时,x=-4;当x=0时,y=3,
∴A(-4,0),B(0,3). …………………………………………2分
∵点C与点A关于y轴对称,
∴C(4,0). ………………………………………………………… 3分
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将B(0,3),C(4,0)代入,得{解得
∴直线BC的解析式. …………………………………… 4分
2)如图,过点A作AD⊥BC于点D,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥OB于点F.
∵OA=OC=4,OB=3,
∴AC=8,. …………………… 5分
∴.即 .
∴ . ……………………………………………… 6分
∵点P在直线上,
∴设P( ).
∴PF=-t,cos∠BPF=cos∠BAO.即 .
∴. ……………………………………………………………… 7分
∵,
∴ ……………………… 8分
∵AP=BQ,
∴. ………………………………………………… 9分
∴ .
即. ………………………………………………………… 10分
(3)在直线 AB 上存在点 N,使得以点 P,Q,M,N 为顶点的四边形是菱形,点 N 坐标为(0,3)或()或( )或( ) . …………14分
综合与实践
操作发现:
如图1和图2,已知点P为正方形ABCD的边AD和CD上的一个动点(点A,D,C除外), 作射线BP,作AE丄BP于点E,CF丄BP于点F,DG丄BP于点G.
(1)如图1,当点P在CD上(点C, D除外)运动时,求证:AE=CF+DG;
(2)如图2,当点P在AD上(点A,D除外)运动时,清宜接写岀线段AE,CF,DG之间的数量关系;
拓广探索:
(3)在(1)的条件下,找出与DG相等的线段,并说明理由;
(4)如图3,若点P为矩形ABCD的边CD上一点,作射线BP,作AE丄BP于点E,CF丄BP 于点F,DG丄BP于点G.若CD=2BE=6,很,则DG= ▲ .
解:(1)证明:如答图,过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H,
则∠CHD=∠AEB=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,AB⫽CD. ………………………………………… 1分
∴∠ABE=∠CPF.
∵AE⊥BP,CF⊥BP,DG⊥BP,
∴∠AEB=∠CFP=∠DGF=90°.
∴∠ABE+∠BAE=∠CPF+∠DCH =90°.
∴∠BAE=∠DCH.………………………………………………………… 2分
在△ABE和△CDH中,
∴△ABE≌△CDH(AAS).
∴AE=CH. ………………………………………………………… 3分
∵∠CHD=∠HFG=∠DGF=90°,
∴四边形HFGD为矩形.
∴HF=DG,
∴AE=CH=CF+HF=CF+DG. …………………………………………4分
(2)线段AE,CF,DG之间的数量关系是CF =AE+DG. ……………… 6分
(3)与DG相等的线段是EF. ………………………………… 7分
理由如下:如图1,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∵AE⊥BP,
∴∠AEB=90°.
∴∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠CBF =90°.
∴∠BAE=∠CBF . ………………………………………………………… 8分
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(AAS).
∴AE=BF,BE=CF.
∴AE=BF=BE+EF=CF+EF. ……………………………………………… 9分
由(1),得AE= CF+DG.
∴DG=EF. …………………………………………………………… 10分
(4)……………………………………………………………12分
如图,在△ABC中.,点O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点D,AE丄BO交BO的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)若BC=12,,求⊙O的半径和AE的长.
证明:(1)如答图,连接OD.
∵⊙O与AB相切于点D ,
∴AB⊥OD. ………………………………………………… 1分
∵∠C=90°,
∴BC⊥OC.
又OC=OD,
∴BO为∠ABC的平分线.
∴∠ABE=∠OBC. …………………………………………… 2分
∵AE⊥BO于点E,
∴∠E=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠AOE+∠OAE=90°.
∵∠C=90°,
∴∠BOC+∠OBC=90°.
又∠AOE =∠BOC.
∴∠OBC=∠OAE.
∴∠ABE=∠OAE. ……………………………………………… 3分
∵∠BAE+∠ABE=90°,∠AOE+∠OAE=90°.
∴∠AOE=∠BAE. …………………………………………… 4分
(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠DOA+∠BAC=90°,
∴∠DOA=∠ABC,
∵ ,BC=12,
∴. …………………………………… 5分
∴
∴.
∴
∴OD=6. ………………………………………………………… 6分
∵BC=12,OC=OD=6.
∴ …………… 7分
∵BC=12,OC=OD=6,AC=16,
∴AO=10.
∵∠AOE=∠BOC,∠E=∠C=90°,
∴△AOE∽△BOC. ……………………………………… 8分
∴.即 .
∴. ………………………………………… 9分
2020年年初以来,全国多地猪肉价格连续上涨,引起了民众与政府的高度关注,政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计:某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨了 40%,这天该超市每千克猪肉价格为 56元.
(1 )求2019年1月10日,该超市猪肉的价格为每千克多少元?
(2)现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉,按2020年1月10日价格出售,平均一天能销售100千克.经调查表明:猪肉的售价每千克下降1元,平均每日销售量就增加20千克,超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润,在尽可能让利于顾客的前提下,每千克猪肉应该定价为多少元?
解:(1)设2019年1月10日,该超市猪肉的价格为每千克x元. ………… 1分
根据题意,得(1+40%)x=56. ……………………………………………… 2分
解,得x=40.
答:2019年1月10 日猪肉的价格为每千克40元. ……………………… 3分
(2)设每千克猪肉应降价y元. ……………………………………………… 4分
依题意,得(56-46-y)(100+20y)=1120. …………………………………… 5分
解,得y1=2,y2=3. …………………………………………………………… 6分
∵尽可能让利于顾客,
∴y=3.
∴56-y=53. …………………………………………………………………… 7分
答:每千克猪肉应该定价为53元. ………………………………………… 8分
2019年11月22日,教育部发布关于《中小学教师实施教育惩戒规则(征求意见稿)》公开征求意见的通知,征求意见稿指出:教育惩戒是教师履行教育教学职责的必要手段和法定职权.教育惩戒分为A:一般惩戒,B:较重惩戒,C:严重惩戒,D:强制措施,共四个层次.为了解家长对教育惩戒的看法,某中学对学生家长进行了随机调査,要求每位家长选择其中最关注的一个层次提出意见,学校对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1) 被调査的总人数是 ▲ 人:
(2) 扇形统计图中B部分对应的圆心角的度数为 ▲ ;
(3) 补全条形统计图;
(4) 某班主任对学生进行了纪律教育,要求小明和小军分别从题中所述的四个层次中 随机选择一个层次说明惩戒内容.请用列表法或画树状图法求两人选择不同教育惩戒层次的概率.
解:(1)40 ………………………………………………………………………… 2分
(2)126° …………………………………………………………………………… 4分
(3)补z统计图如图所示.
意见收集条形统计图
………………………………………6分
(4)根据题意,列表为:
………………………………………8分
或画树状图为:
………………………………………………………………………………………… 8分
∵两人选择共有16种等可能情况,其中两人选择不同层次共有12种情况.………… 9分
∴两人选择不同教育惩戒层次的概率为.………………………………… 10分
本卷还有18题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户童皆醉分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。