如图,等腰直角三角形ABC分别沿着某条直线对称得到图形b,c,d.若上述对称关系保持不变,平移△ABC,使得四个图形能够围成一个不重叠且无缝隙的正方形,此时点B的坐标和正方形的边长为( )
A. B.(1,﹣1),2
C. D.
D解:根据图形可知,AB=1,BC=1,
∴移动后,点B的横坐标与纵坐标的长度都是,
又点B移动后位于第四象限,
∴此时点B的坐标为(,﹣).
正方形的边长为
如图,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,则下列判断错误的是( )
A.四边形AEDF一定是平行四边形
B.若AD平分∠A,则四边形AEDF是正方形
C.若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形
D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形
B解:A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点,∴DE、DF为△ABC得中位线,
∴ED∥AC,且ED=AC=AF;同理DF∥AB,且DF=AB=AE,
∴四边形AEDF一定是平行四边形,正确.
B、若AD平分∠A,如图,延长AD到M,使DM=AD,连接CM,由于BD=CD,DM=AD,
∠ADB=∠CDM,(SAS)∴△ABD≌△MCD∴CM=AB,又∵∠DAB=∠CAD,
∠DAB=∠CMD,∴∠CMD=∠CAD,∴CA=CM=AB,因AD平分∠A
∴AD⊥BC,则△ABD≌△ACD;AB=AC,AE=AF,
结合(1)四边形AEDF是菱形,因为∠A不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形;
C、若AD⊥BC,则△ABD≌△ACD;AB=AC,AE=AF,结合(1)四边形AEDF是菱形,正确;
D、若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形,正确.
故选:B.
如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是( )
A.②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
C解:根据已知条件不能推出OA=OD,∴①错误;
∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△AED和Rt△AFD中,
,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF,∴②正确;
∵∠BAC=90°,∠AED=∠AFD=90°,
∴四边形AEDF是矩形,
∵AE=AF,
∴四边形AEDF是正方形,∴③正确;
∵AE=AF,DE=DF,
∴AE2+DF2=AF2+DE2,∴④正确;
∴②③④正确,
故选:C.
如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是( )
A.30 B.34 C.36 D.40
B解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AH=BE=CF=DG.
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,
,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),
∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠HEF=90°,
∴四边形EFGH是正方形,
∵AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,
∴EH=FE=GF=GH==,
∴四边形EFGH的面积是:×=34,
故选:B.
如图,八边形ABCDEFGH中,AB=CD=EF=GH=1,BC=DE=FG=HA=,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠H=135°,则这个八边形的面积等于( )
A.7 B.8 C.9 D.14
A解:如图,
延长AB、DC交于M点,延长CD、FE交于N点,延长EF、HG交于P点,延长GH、BA交于Q点,则MNPQ是矩形,
∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°,
∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形.
这个八边形的面积等于=矩形面积﹣4个小三角形的面积=3×3﹣4×1×1÷2=7.
故选:A.
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