如图T7-1,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.
图T7-1
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.
解:(1)如图,连接OA,
∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,
∴OA⊥AC.
∴∠OAC=90°.
∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∠C=30°.
∴OA=OC.
设☉O的半径为r,
∵CE=2,∴r=(r+2).∴r=2.
∴☉O的半径为2.
如图T7-2,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.
图T7-2
解:(1)证明:连接OC,
∵CN为☉O的切线,
∴OC⊥CM,
∴∠OCA+∠MCD=90°.
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠MCD=∠ODA.
又∵∠ODA=∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC,
∴MD=MC.
(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴BC==2.
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴=,即=,得OD=.
设MC=MD=x,在Rt△OCM中,
由勾股定理得x+2=x2+52,
解得x=,即MC=.
已知:如图T7-3,AB是☉O的直径,AB=4,点F,C是☉O上两点,连接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.
图T7-3
(1)求扇形OBC的面积(结果保留π);
(2)求证:CD是☉O的切线.
解:(1)∵∠BOC=60°,直径AB=4,即半径等于2,
∴扇形OBC的面积==π.
(2)证明:∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
又∵AC平分∠BAF,∴∠OAC=∠FAC,
∴∠FAC=∠OCA,∴OC∥AD.
又∵CD⊥AD,∴CD⊥OC,∴CD是☉O的切线.
如图T7-4,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.
图T7-4
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若PD=,求☉O的直径.
解:(1)证明:连接OA,
∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
又∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是☉O的切线.
(2)在Rt△OAP中,
∵∠P=30°,
∴PO=OD+PD=2OA,
又∵OA=OD,
∴PD=OA,
∵PD=,
∴2OA=2PD=2.
∴☉O的直径为2.
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