如图T3-1,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4).
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.
图T3-1
解:(1)∵双曲线y1=经过点A(-4,1),
∴k=-4×1=-4,∴双曲线的解析式为y1=-.
∵双曲线y1=-经过点B(m,-4),
∴-4m=-4,∴m=1,∴B(1,-4).
∵直线y2=ax+b经过点A(-4,1)和点B(1,-4),
∴解得
∴直线的解析式为y2=-x-3.
(2)AB=5,y1>y2时,x的取值范围是-4<x<0或x>1.
提示:由两点间距离坐标公式得AB==5.
在图象中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x的取值范围是-4<x<0或x>1.
如图T3-2,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6,n)两点.
(1)求k和n的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.
图T3-2
解:(1)把B(6,n)代入一次函数y=-x+4中,可得n=-×6+4=1,
所以B点的坐标为(6,1).
又B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
所以k=xy=1×6=6,
所以k的值为6,n的值为1.
(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=.
当x=2时,y==3;当x=6时,y==1,
由函数图象可知,当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.
如图T3-3,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;
(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.
图T3-3
解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,
∴OA=6,OB=12,OD=4,
∴A(6,0),B(0,12),点D的横坐标为-4,
把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,
∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.
点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),
∴20=,n=-80,
∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)由y=-2x+12和y=-得-2x+12=-,
解得x1=-4,x2=10,∴E(10,-8),
∴△CDE的面积为×20×(10+4)=140.
(3)由图象可得-4≤x<0或x≥10.
如图T3-4,已知反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.
图T3-4
解:(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),
∴4=,解得m=4,
故反比例函数的表达式为y=.
∵Q(-4,n)在反比例函数的图象上,
∴n==-1,∴Q(-4,-1).
∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),
∴-1=4+b,解得b=-5,
∴一次函数的表达式为y=-x-5.
(2)由题意可得:
解得或
∴P(-1,-4).
在一次函数y=-x-5中,
令y=0,得-x-5=0,
解得x=-5,故A(-5,0).
∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=×5×4-×5×1=7.5.
如图T3-5,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.
(1)求函数y=和y=kx+b的解析式.
(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.
图T3-5
.解:(1)∵点A(4,2)在反比例函数y=的图象上,
∴m=4×2=8,∴反比例函数的解析式为y=.
∵点B在y轴的负半轴上,且OB=6,
∴点B的坐标为(0,-6),
把A(4,2)和B(0,-6)代入y=kx+b中,得:解得
∴一次函数的解析式为y=2x-6.
(2)设点P的坐标为n,(n>0).
在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,
∴点C的坐标为(3,0),即OC=3,
∴S△POC=OC·yP=×3×=9,
解得n=,∴点P的坐标为,6,
故当S△POC=9时,在第一象限内,反比例函数y=的图象上点P的坐标为,6.
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