如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=∠ADC,点E是BC边上的一点,且AE=DC.
(1)求证:△ABC≌△EAD ;
(2)如果AB⊥AC,求证:∠BAE= 2∠ACB.
证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
又∠B=∠ADC,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(AAS)
∴BC=AD,AB=DC,∠ACB=∠CAD.
又 AE=DC,AB=DC,
∴AB=AE.
∴∠B=∠AEB.
又∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD.
∴∠B=∠EAD.
在△ABC与△EAD中,
(2)过点A作AH⊥BC于H.
∵AB=AE,AH⊥BC.
∴∠BAE=2∠BAH.
在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
又 AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
∴∠B+∠ACB=90°.
同理:∠B+∠BAH=90°.
∴∠BAH=∠ACB.
∴∠BAE=2∠ACB.
我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果ax+b=0,其中a、b为有理数,x为无理数,那么a=0且b=0.
运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果,其中a、b为有理数,那么a= ,b= ;
(2)如果,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
如图,某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处,用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD,中间用同样材料分割成两个长方形. 已知墙AE长120米,墙AF长40米,要使长方形ABCD的面积为4000平方米,问BC和CD各取多少米?
解:设BC=x米,则CD=(180-2x)米.
由题意,得:x(180-2x)=4000,
整理,得:x2-90x+2000=0,
解得:x=40或x=50>40(不符合题意,舍去),
∴180-2x=180-2×40=100<120(符合题意).
答:BC=40米,CD=100米.
已知:如图,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,点E是AB的中点,联结CE并延长
交BD于点F .
求证:CE = FE .
证明:∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴AC∥BD,
∴∠A=∠B,
又∵点E是AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEC与△BEF中,
∴△AEC≌△BEF(ASA),
∴CE=FE.
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