如图,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,-2),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点A,C两点.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标;
(3)若点P是反比例函数图象上的一点,△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标.
解:(1)∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,-2),∴AB=1+2=3,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=3,∴C(3,-2),把C(3,-2)代入y=得k=3×(-2)=-6,∴反比例函数表达式为y=-,把C(3,-2),A(0,1)代入y=ax+b得a=-1,b=1,∴一次函数表达式为y=-x+1 (2)y=-x+1与y=-联立解得或,∴M点的坐标为(-2,3) (3)设P(t,-),∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,∴×1×|t|=3×3,解得t=18或t=-18,∴P点坐标为(18,-)或(-18,)
如图,设反比例函数的表达式为y=(k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若该反比例函数与过点M(-2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积为时,求直线l的表达式.
解:(1)由题意得交点坐标为(1,2),把(1,2)代入y=,得到3k=2,∴k=
(2)把M(-2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,∴y=kx+2k,由消去y得到x2+2x-3=0,解得x=-3或1,∴B(-3,-k),A(1,3k),∵△ABO的面积为,∴·2·3k+·2·k=,解得k=,∴直线l的解析式为y=x+
小明家饮水机中原有水的温度为20 ℃,通电开机后,饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系],当加热到100 ℃时自动停止加热,随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系],当水温降至20 ℃时,饮水机又自动开始加热…,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数表达式;
(2)求图中t的值;
(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家时,饮水机内的温度约为多少℃?
解:(1)函数表达式为:y=10x+20 (2)t=40 (3)∵45-40=5≤8,∴当x=5时,y=10×5+20=70,答:小明散步45分钟回到家时,饮水机内的温度约为70 ℃
如图,在平面直角坐标系中,过点A(-2,0)作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,指出点P,Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
解:(1)由题意B(-2,),把B(-2,)代入y=中,得到k=-3,∴反比例函数的表达式为y=-
(2)结论:P在第二象限,Q在第四象限.理由:∵k=-3<0,∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大,∵P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,∴P,Q在不同的象限,∴P在第二象限,Q在第四象限
如图,在平面直角坐标系中,点A(,1),B(2,0),O(0,0),反比例函数y=图象经过点A.
(1)求k的值;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转60°,得到△COD,其中点A与点C对应,试判断点D是否在该反比例函数的图象上?
解:(1)k= (2)易知△BOD是等边三角形,可得D(1,),由(1)k=,∴y=,当x=1时,y=,∴点D在该反比例函数的图象上
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