如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,连接AC,BD.
(1)求证:AC=BD;
(2)若图中阴影部分的面积是π cm2,OA=2 cm,求OC的长.
解:(1)证明:∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD.
∴∠AOC=∠BOD.
∵AO=BO,CO=DO,
∴△AOC≌△BOD(SAS).
∴AC=BD.
(2)根据题意,得
S阴影=-=,
∴π=,解得OC=1.
∴OC=1cm.
.如图,线段AB与⊙O相切于点C,连接OA,OB,OB交⊙O于点D,已知OA=OB=6,AB=6.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)连接OC,则OC⊥AB.∵OA=OB,
∴AC=BC=AB=×6=3.
在Rt△AOC中,OC==3,
∴⊙O的半径为3.
(2)∵OC=OB,∴∠B=30°,∠COD=60°.
∴S扇形OCD==π.
∴S阴影=SRt△OBC-S扇形OCD=OC·CB-π=-.
如图,AB是⊙O的弦,BC切⊙O于点B,AD⊥BC,垂足为D,OA是⊙O的半径,且OA=3.
(1)求证:AB平分∠OAD;
(2)若点E是优弧上一点,且∠AEB=60°,求扇形OAB的面积.(计算结果保留π)
解:(1)证明:连接OB,
∵BC切⊙O于点B,
∴OB⊥BC.
∵AD⊥BC,
∴AD∥OB.
∴∠DAB=∠OBA.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠DAB=∠OAB.
∴AB平分∠OAD.
(2)∵点E是优弧上一点,且∠AEB=60°,
∴∠AOB=2∠AEB=120°,
∴扇形OAB的面积为=3π.
如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=60°,连接AO,BO.
(1)所对的圆心角∠AOB=°;
(2)若OA=3,求阴影部分的面积.
120解:连接OP,
则∠OPA=∠OPB=∠APB=30°.
在Rt△OAP中,OA=3,∴AP=3.
∴S△OPA=×3×3=.
∴S阴影=2×-=9-3π.
某商场为了迎接“六一”儿童节的到来,制造了一个超大的“不倒翁”.小灵对“不倒翁”很感兴趣,原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的,并在底部的中心(即图中的C处)固定一个重物,再从正中心立起一根杆子,在杆子上做些装饰,在重力和杠杆的作用下,“不倒翁”就会左摇右晃,又不会完全倒下去.小灵画出剖面图,进行细致研究:圆弧的圆心为点O,过点O的木杆CD长为260 cm,OA,OB为圆弧的半径,长为90 cm(作为木杆的支架),且OA,OB关于CD对称,的长为30π cm.当木杆CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线l相切于点B)时,木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少厘米?
解:∵的长为30π cm,OA,OB为圆弧的半径,长为90 cm,
根据弧长公式l=,得30π=,
解得n=60°.
即∠AOB=60°,从而∠BOE=∠COA=30°.
∵OB=90 cm,∴OE=60 cm.
∴DE=(170+60)cm.
∴DF=(90+85 )cm.
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