已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.
(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;
(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB;
(3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN2=NC•AC.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,
∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°,
∴∠OND+∠ODN=90°,
∵∠ANH=∠OND,
∴∠ANH+∠ODN=90°,
∵DH⊥AE,
∴∠DHM=90°,
∴∠ANH+∠OAM=90°,
∴∠ODN=∠OAM,
∴△DON≌△AOM,
∴OM=ON;
(2)连接MN,
∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD,
∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON,
∵OD=OD,
∴DM=CN=EN,
∵EN∥DM,
∴四边形DENM是平行四边形,
∵DN⊥AE,
∴▱DENM是菱形,
∴DE=EN,
∴∠EDN=∠END,
∵EN∥BD,
∴∠END=∠BDN,
∴∠EDN=∠BDN,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDN=22.5°,
∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°,
∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB,
∴BM=AB;
(3)设CE=a(a>0)
∵EN⊥CD,
∴∠CEN=90°,
∵∠ACD=45°,
∴∠CNE=45°=∠ACD,
∴EN=CE=a,
∴CN=a,
设DE=b(b>0),
∴AD=CD=DE+CE=a+b,
根据勾股定理得,AC=AD=(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,
∵∠OAD=∠ODC=45°,
∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°,
∴△DEN∽△ADE,
∴,
∴,
∴a=b(已舍去不符合题意的)
∴CN=a=b,AC=(a+b)=b,
∴AN=AC﹣CN=b,
∴AN2=2b2,AC•CN=b•b=2b2
∴AN2=AC•CN.
图1是一商场的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.4)
【解答】解:作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,如图所示.
∵AB=CD,AB+CD=AD=2,
∴AB=CD=1.
在Rt△ABE中,AB=1,∠A=37°,
∴BE=AB•sin∠A≈0.6,AE=AB•cos∠A≈0.8.
在Rt△CDF中,CD=1,∠D=45°,
∴CF=CD•sin∠D≈0.7,DF=CD•cos∠D≈0.7.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴BE∥CM,
又∵BE=CM,
∴四边形BEMC为平行四边形,
∴BC=EM,CM=BE.
在Rt△MEF中,EF=AD﹣AE﹣DF=0.5,FM=CF+CM=1.3,
∴EM=≈1.4,
∴B与C之间的距离约为1.4米.
某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元,其中甲种水果8元/千克,乙种水果18元/千克.6月份,这两种水果的进价上调为:甲种水果10元千克,乙种水果20元/千克.
(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同,将多支付货款300元,求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克?
(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克,且甲种水果不超过乙种水果的3倍,则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元?
【解答】解:(1)设该店5月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克,
根据题意得:,
解得:.
答:该店5月份购进甲种水果190千克,购进乙种水果10千克.
(2)设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果(120﹣a)千克,
根据题意得:w=10a+20(120﹣a)=﹣10a+2400.
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍,
∴a≤3(120﹣a),
解得:a≤90.
∵k=﹣10<0,
∴w随a值的增大而减小,
∴当a=90时,w取最小值,最小值﹣10×90+2400=1500.
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元.
如图,已知一次函数y1=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图象交于A(4,1),B(n,﹣2)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出y1<y2时x的取值范围.
【解答】解:(1)∵反比例函数y2=(k2≠0)的图象过点A(4,1),
∴k2=4×1=4,
∴反比例函数的解析式为y2=.
∵点B(n,﹣2)在反比例函数y2=的图象上,
∴n=4÷(﹣2)=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2).
将A(4,1)、B(﹣2,﹣2)代入y1=k1x+b,
,解得:,
∴一次函数的解析式为y=x﹣1.
(2)观察函数图象,可知:当x<﹣2和0<x<4时,一次函数图象在反比例函数图象下方,
∴y1<y2时x的取值范围为x<﹣2或0<x<4.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标;(2)根据两函数图象的上下位置关系,找出不等式y1<y2的解集.
如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;
(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,
∴B点坐标为(6,0),
设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),
把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,
∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;
(2)设M(t,0),
易得直线OA的解析式为y=x,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把B(6,0),A(8,4)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12,
∵MN∥AB,
∴设直线MN的解析式为y=2x+n,
把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,
解方程组得,则N(t,t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣(t﹣3)2+3,
当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);
(3)设Q(m,m2﹣m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴当=时,△PQO∽△COA,即=,
∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,
解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4);
∴当=时,△PQO∽△CAO,即=,
∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,
解方程m2﹣m=m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,﹣1);
综上所述,P点坐标为(14,28)或(﹣2,4)或(2,﹣1).
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
本卷还有21题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户残雪分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。